極座標変換

1. 変換方向（「直交 (x, y) → 極 (r, $\theta$)」または「極 (r, $\theta$) → 直交 (x, y)」）を選択し、角度単位や角度正規化、小数点桁数などの設定を行います。
2. 選択した変換方向に応じて、「X座標とY座標」または「半径 r と 角度 $\theta$」を入力します。
3. 即座に変換された「半径 R」「角度 $\Theta$」「X座標」「Y座標」のすべてが表示され、同時に座標がプロット図上に描画されます。

極座標とは

極座標は、平面上の点を「原点からの距離 r」と「角度 θ」で表す座標系です。直交座標 (x, y) の代わりに、(r, θ) を用います。

基本

• 極（原点）：距離の起点。
• 極軸：角度の基準となる半直線（通常は x 軸正方向）。
• 座標：(r, θ)。多くの慣習では r ≥ 0。
  負の半径を許す規約では、(r, θ) は (|r|, θ + π) と等価。
• 角度の単位：度（deg）またはラジアン（rad）。表示の慣習は [0, 360)、(−180, 180]、[0, 2π) など。

相互変換

• 直交 → 極
  r = sqrt(x^2 + y^2)
θ = atan2(y, x)
• 極 → 直交
  x = r · cos(θ)
y = r · sin(θ)

例

(x, y) = (3, 4) のとき

• r = sqrt(3^2 + 4^2) = 5
• θ = atan2(4, 3) ≈ 53.13°

いつ便利？

• 円運動・波動・アンテナなど、回転対称や放射状の問題。
• フーリエ変換や複素数（絶対値と偏角）の表現。
• 幾何：円・扇形の面積、スパイラル（例：アルキメデスの螺線 r = a·θ）。

拡張

• 円柱座標系：(r, θ, z) — 平面に高さ z を追加した 3D。
• 球座標系：(ρ, θ, φ) — 距離と二つの角で 3D の点を表す。

3次元極座標とは

3次元で「極座標」という場合、2次元の極座標を3次元へ拡張した座標系を指し、代表的に次の2つがあります。

円柱座標系（cylindrical）

2D の極座標に高さ z を加えたもので、点を (r, θ, z) で表します。

• 直交 → 円柱
  r = sqrt(x^2 + y^2)
θ = atan2(y, x)
z = z
• 円柱 → 直交
  x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
z = z
• 体積要素：dV = r dr dθ dz
• 使いどころ：回転対称かつ高さが効く問題（円柱・パイプ流、ソレノイドなど）

球座標系（spherical）

原点からの距離と2つの角で点を表す方式です。以下は物理・工学で一般的な定義です。

• ρ：原点からの距離（半径）
• θ：方位角（xy 平面で +x 軸から反時計回り、[0, 2π)）
• φ：傾斜角（+z 軸からの角、[0, π]）

• 直交 → 球（ρ > 0）
  ρ = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)
θ = atan2(y, x)
φ = arccos(z / ρ)
• 球 → 直交
  x = ρ sin(φ) cos(θ)
y = ρ sin(φ) sin(θ)
z = ρ cos(φ)
• 体積要素：dV = ρ^2 sin(φ) dρ dφ dθ
• 使いどころ：球対称の問題（点電荷の電場、重力、球面分布、レーダー測位など）

補足（角度と正規化）

• θ は 2D と同様に atan2(y, x) を使うと安全（象限を自動判定）。
• 表示の慣習は θ ∈ [0, 2π) または (−π, π]、φ ∈ [0, π] が一般的。
• ρ < 0 は通常扱わない（必要なら ρ → |ρ|、角を π だけ回して正規化）。

まとめ

3次元の「極座標」は用途に応じて円柱座標 (r, θ, z) と球座標 (ρ, θ, φ) のいずれか（または両方）を使い、回転対称性や球対称性のある問題で座標変換や積分を簡単にします。

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