累乗計算

累乗とは？

累乗とは、同じ数を何回もかけ合わせることを表す数学の記号です。
数 a を底（てい）、数 n を指数（しすう）として、

an

と書き、「a の n 乗」と読みます。

基本の考え方

• a1 = a （1回だけなのでそのまま）
• a2 = a × a （2回かける → 二乗）
• a3 = a × a × a （3回かける → 三乗）
• a4 = a × a × a × a （4回かける → 四乗）

つまり「指数の数字が、その数を何回かけるか」を表します。

特殊な場合

• a0 = 1 （a が 0 でないとき）
• a-n = 1 / an
  マイナスの指数は「逆数」を意味します。例：2-3 = 1 / 23 = 1/8 = 0.125
• a1/2 は「平方根」 → 例：91/2 = √9 = 3
• a1/3 は「立方根」 → 例：81/3 = ³√8 = 2

日常での例え

• 面積：一辺が 5cm の正方形 → 面積は 52 = 25 cm²
• 体積：一辺が 3cm の立方体 → 体積は 33 = 27 cm³
• お金：100円を 2倍にして、それをさらに 2倍にすると → 100 × 22 = 400 円

まとめ

• 累乗 = 同じ数を繰り返しかける表し方
• 指数が正の整数 → 繰り返しかけ算
• 指数が 0 → 1
• 指数が負 → 逆数
• 指数が分数 → 根号（ルート）

簡単に言うと「累乗は“掛け算の回数をまとめて書く便利な方法”」です。

1. 基本の考え方

累乗とは、同じ数を繰り返しかけ算することです。
数 a を「底（てい）」、数 n を「指数（しすう）」とすると、

an = a × a × … × a （n回）

• 23 = 2 × 2 × 2 = 8
• 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625

2. 負の指数の場合

a-n = 1 / an

• 2-3 = 1 / 23 = 1/8 = 0.125
• 10-2 = 1 / 102 = 1/100 = 0.01

3. 0乗の場合

a0 = 1 （a ≠ 0）

• 50 = 1
• 1000 = 1

ただし 00 は未定義です。

4. 分数の指数の場合（根号に変換）

分数の指数は「根号（ルート）」を意味します。

• a1/2 = √a
• a1/3 = ³√a

例：

• 91/2 = √9 = 3
• 271/3 = ³√27 = 3
• 163/4 = (163)1/4 = √[4]{4096} = 8

5. 実数の指数の場合（対数を使う）

小数や実数の指数は「対数」や「指数関数」を使って計算します。
ab = eb × ln(a) （a > 0）

• 20.5 = e0.5 × ln(2) ≈ 1.414
• 101.2 = e1.2 × ln(10) ≈ 15.849

6. 効率的な計算方法（コンピュータでの計算）

大きな指数の計算では「二乗法（べき乗法 / Exponentiation by Squaring）」が使われます。

考え方：

• 指数を2進数に分解して効率的に計算する
• 計算回数は指数の大きさに対して対数的に増えるため高速

例：213

• 13 = 1101（2進数）
• 213 = 28 × 24 × 21

まとめ

• 正の整数指数 → 繰り返しかけ算
• 負の指数 → 逆数
• 0乗 → 1（ただし 0⁰ は未定義）
• 分数の指数 → 根号（ルート）
• 小数・実数の指数 → 対数を使って計算
• 大きな指数 → 二乗法で効率的に計算

要するに、累乗計算は「掛け算をまとめて表すルール」であり、指数の種類ごとに少しずつ意味が変わります。

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